Aljabar Boolean

 Manajemen Informatika Politeknik Negeri Lampung

Aljabar Boolean

Aljabar Boolean erat hubungannya dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Aljabar Boolean memiliki fungsi yang terdiri dari variabel-variabel biner yang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel kebenaran yang memiliki konstanta 0 dan 1, serta simbol-simbol operasi logik tertentu. Tabel kebenaran dalam sebusah fungsi Boolean terdiri dari daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.

Aljabar Boolean bekerja dengan himpunan {0, 1} pada operasi dan aturan tertentu. Gerbang-gerbang logika erat kaitannya Aljabar Boole, karena biasa  digunakan untuk menyatakan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner dengan operator tententu. Logika kombinasi  merupakan  suatu  rangkaian  digital  yang  mempergunakan  2  atau  lebih  gerbang-gerbang logika.

Gerbang logika  merupakan rangkaian dengan satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya  menghasilkan satu sinyal keluaran. Kombinasi beberapa gerbang logika dapat menjadi suatu rangkaian digital yang sangat  komplek. Pada  dasarnya  kompleksitas  suatu  rangkaian  digital  dapat  diserderhanakan sehingga rangkaian digital tersebut dapat memanfaatkkan gerbang yang lebih sedikit.

Beberapa operasi rangkaian logika dasar yang biasa digunakan dalam fungsi Boolean, diantaranya adalah : INVERTER / INVERS / NOT, AND, OR, NAND, NOR, XOR, XNOR. Gerbang  AND mempunyai dua atau lebih dari dua sinyal  masukan tetapi hanya memiliki satu sinyal keluaran.  Sedangkan gerbang OR akan memberikan sinyal keluaran tinggi jika salah satu atau semua sinyal masukan bernilai tinggi, sehingga  dapat dikatakan bahwa gerbang OR hanya memiliki sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah.

Aljabar Boolean mempunyai aplikasi yang luas dalam kehidupan, antara lain dalam bidang jaringan pensaklaran dan rangkaian digital. Dalam jaringan persaklaran Aljabar Boolean biasa menggambarkan saklar dalam keadaan tertutup dan terbuka, serta hubungannya dalam bentuk seri dan paralel.

Suatu rangkaian digital dengan kompleksitas yang tinggi dapat  diserderhanakan sehingga rangkaian digital tersebut dapat memanfaatkkan gerbang yang lebih sedikit. Penyedeerhanaan yang biasa digunakan dalam rangkaian digital dikenal dengan  teknik  reduksi.  Teknik Reduksi  yang sering dipakai yaitu dengan memakai  aljabar Bolean dengan teorema De Morgan,  Peta Karnough.

 A.     Operasi – operasi Logika Dasar

 Dalam rangkaian logika terdapat operasi dasar untuk menunjukkan suatu perilaku dari operasi-operasi tersebut, operasi ini biasanya ditunjukkan dengan menggunakan suatu tabel kebenaran. Tabel kebenaran berisi statemen-statemen bernilai TRUE(T) and FALSE(F) yang dalam tabel dilambangkan dengan “1” untuk TRUE(benar) dan “0” untuk FALSE(salah).

Berikut operasi-operasi dasar logika yang dijelaskan dengan tabel kebenaran :

Operasi INVERS (NOT)

Operasi INVERS / NOT merupakan suatu operasi yang menghasilkan keluaran nilai kebalikannya. Operasi INVERS / NOT dilambangkan dengan tanda ( ¯ ) diatas variabel atau tanda single apostrope ( ‘ ). Operasi ini akan mengubah logik 1(benar) menjadi 0(salah) dan sebaliknya, akan mengubah logik 0(salah) menjadi logik 1(benar).

Tabel kebenaran untuk operasi INVERS / NOT:

A	a’
0	1
1	0

Operasi AND

Operasi AND merupakan operasi boolean yang yang akan memghasilkan nilai 1 ketika dipasangkan dengan 1 pula.           Operasi AND dilambangkan dengan dot ( . ). Operasi ini hanya akan menghasilkan nilai benar jika kedua variabel bernilai benar, selain itu akan bernilai salah.

Tabel kebenaran untuk operasi AND:

a	B	a.b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Operasi OR

Operasi OR merupakan operasi yang hanya akan menghasilkan nilai benar(1) jika salah satu variabelnya bernilai benar(1) serta akan menghasilkan nilai salah jika kedua variabelnya bernilai salah. Operasi OR dilambangkan dengan plus (+).

Tabel kebenaran untuk operasi OR:

a	b	a+b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Operasi Turunan

Operasi logika NOR

Operasi NOR merupakan perpaduan dari operasi OR dan INVERS / NOT. Operasi NOR kan menghasilkan keluaran OR yang di inverskan. Operasi NOR mempunyai dua buah lambang yaitu lambang OR (+) dan INVERS / NOT ( ‘ ).

Tabel kebenaran untuk operasi NOR :

a	B	(a+b)’
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Operasi logika NAND

Operasi NAND merupakan perpaduan dari operasi AND dan INVERS / NOT. Operasi NAND akan menghasilkan keluaran AND yang di inverskan. Operasi NAND mempunyai dua buah lambang yaitu lambang AND ( . ) dan INVERS / NOT ( ‘ ).

Tabel kebenaran untuk operasi NOR :

a	B	(a.b)’
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Operasi logika EXOR

EXOR berarti exklusive OR berarti “yang satu atau yang satunya tapi tidak keduanya”. Operasi XOR akan menghasilkan keluaran 1(benar) jika jumlah masukan yang bernilai 1(benar) berjumlah ganjil. Operasi XOR merupakan hasil dari (a’.b) + (a.b’) atau biasa ditulis a    b. Tabel kebenaran untuk operasi XOR:

a	b	a’.b + a.b’
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Operasi logika EXNOR

EXNOR berarti exklusive NOR berarti “yang satu atau yang satunya tapi tidak keduanya”. Operasi ini akan menghasilkan keluaran 1(benar) jika jumlah masukan yang bernilai 1(benar) berjumlah genap atau tidak ada sama sekali. Operasi XOR merupakan hasil dari a’+b .  a+b’ atau biasa ditulis a’     b’ atau (a      b)’.

Tabel kebenaran untuk operasi EXNOR:

a	b	a’+b .  a+b’
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 B.     Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran merupakan tabel yang menunjukkan kombinasi dari variabel input dan variabel output pada suatu kasus logika tertentu. Tabel kebenaran biasa digunakan untuk menganalisa suatu fungsi logika karena dapat mempermudah pemahaman.

Perhatikan contoh berikut:

Tunjukan nilai kebenaran dari suatu fungsi B = a’bc + ab’c + abc’ !

a	b	c	a’	b’	c’	ab	bc	a’bc	ab’c	abc’
0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	1	1	0	0	0	1	1
1	1	1	0	0	0	1	1	0	0	0	0